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第78章 第078章(第2页)

而如果要从头介绍黎曼猜想,就要从数学家们对素数的研究说起了。

之前介绍孪生素数猜想的时候,我们已经说过了什么是素数,而古往今来,数学家从来没有停止过对素数的研究。

前文提到过的卡塔兰猜想、皮莱猜想、孪生素数猜想,还有大家耳熟能详的哥德巴赫猜想,全都是对素数分布规律的研究。

众所周知,素数有无穷多个,我们也可以计算出有限个素数,但是当一个数足够大的时候,想要计算出它是不是素数,将会是一件比较困难的事情,我们并没有一个通用的公式可以用来确定一个数是否是素数。

而如果能够找出这个通项公式,那么所有关于素数的问题,都将迎刃而解。

曾经也有许多数学家研究过这个问题,并且提出了一些素数的通项公式,其中不乏包括欧拉、费马之类的著名数学家,但所有这些通项公式最后都被证明是错误的。

目前人类已知的最大素数是277232917-1,这是一个梅森素数,在2017年由“互联网梅森素数搜索”项目发现,这是一个全球合作的项目。

至于什么是梅森素数,这也是一个相对复杂的问题,这里暂时不详细说明,可以简单的理解为梅森素数是一类特殊的素数。

而在发现了无法找到可以表达所有素数的通项公式之后,数学家们转而去研究另外一个问题,是否可以知道一个固定的范围内的素数有多少个?

比如说,我们现在都知道,十以内的素数有4个,那么我们能不能通过一个公式计算出20以内,100以内,1000内,乃至于一千万以内或者更大范围内的素数有多少个呢?

而计算这个一定范围内素数数量的表达式,被称为素数计算函数。

在这里里,我们就必须介绍一个伟大的德国数学家格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼,他是黎曼几何学的创始人,同时还是复变函数论的创始人之一。

在1859年,黎曼提交了他的唯一一篇数论论文,这也是他唯一一篇没有几何概念的论文,论文的题目就叫做《论小于一个给定值的素数的个数》。

就和论文的标题一样,这这篇只有九页的论文里,黎曼直接给出了素数计算函数的准确表达式,只是他的论文过于简略,并没有明确证明过程,以至于即便到了今天,我们也只是证明出了其中的一小部分内容。

更令人遗憾的是,1866年,年仅40岁的天才数学家黎曼就因为肺结核去世了。

否则,也许黎曼猜想在今天,早已不是猜想了。

黎曼给出的表达式π(x)由两部分组成,一部分是j(x),这就是黎曼给出的素数计算函数,由这个函数可以计算出一个π(x)的近似值。

另外一部分是对j(x)的修正项,μ(n)n。

通过修正项的修正之后,所得到的数值就是准确的π(x)的值了。

但说到这里,仿佛还是没有提到前面说的两个问题,黎曼ζ函数和它的非平凡零点。

接下来我们首先说一下黎曼ζ函数,它可以表示为ζ(s),之所以用这个函数是在复数域上的函数,复数域函数的自变量用s而不是x来表示。

至于什么是复数,如果再扩展来讲,那就真的太浪费篇幅了,这里略过不提。

言归正传,当我们解ζ(s)=0的这个方程的时候,我们可以得到两种类型的解。

第一,也是一个简单的解,s=-2n,也就是所有的负偶数。

显然这很简单,所以也叫做平凡解,或者叫做平凡零点。

第二,s=a+bi,很明显这是复数解。

复数解非常复杂,至今没有找到所有的答案,所以也被成为非平凡解,或者非平凡零点。

现在,我们已经知道什么是黎曼ζ函数,也知道什么是它的非平凡零点了,那么它和前面说道的黎曼给出的素数计算函数又有什么关系呢?

简单的说就是,黎曼提出的素数计算函数的其中部分就包含了黎曼ζ函数的非平凡零点p,而如果我们可以知道所有的p,就可以得到精确的π(x)。

也就是说,证明黎曼猜想就是要证明,p的所有实部re(p)=12。

而如果能够证明黎曼猜想,我们将能够在关于素数分布了解上前进一大步,可以说黎曼猜想是目前素数领域最重要的猜想。

有人认为,如果证明了黎曼猜想,我们将会推开新世界的大门。

但想要证明这个猜想真的太难了,一百多年过去了,我们对于黎曼为什么会认为re(p)=12依然一无所知,无数数学家想要摘下这颗明珠,然而谁都没有做到,加兰教授目前也是其中之一。

至于陈颂自己呢,他当然对黎曼猜想也是感兴趣的,研究素数的数学家,很难对黎曼猜想不感兴趣,但至少目前他觉得自己暂时还没有实力去研究它,也许以后会。

此时,陈颂安安静静地坐在台下,听着加兰教授的报告,并时不时在本子上记下一些内容和公式。

加兰教授的报告同样留了提问的时间,不过陈颂并没有提问,他只是在脑子里整理着加兰教授报告的内容,脑子里似乎有什么东西闪过,但一时没有抓住,这让他不由沉浸在自己的思绪中冥思苦想,直到报告厅里的所有人都离开了,他还坐在原地。

加兰教授一样就看到他,走了过来,“你似乎遇到了什么问题。”

陈颂叹了口气,无奈地说道:“您的报告让我受到了一些启发,然而有些灵感一闪而过,我还没有抓住他。”

加兰教授微笑道:“很高兴能够对你有所帮助,不过以我的经验来说,你不妨放空自己的脑子一段时间休息一下,之后再重新梳理一遍,到时候或许能够有所发现。”

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